Question

8．已知抛物线y²=2px（p＞0）有一内接直角三角形，直角顶点是原点，一直角边的方程为y=2x，斜边为5$\sqrt{13}$，求这个抛物线的方程．

Answer 1

分析 不妨设已知直角三角形为OAB，直线OA的方程为y=2x，由题意可知OA⊥OB，从而有k_OB=-$\frac{1}{{k}_{OA}}$=-$\frac{1}{2}$，则可求直线OB的方程，联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，可求A的坐标，进而可求AO，同理可求OB，由勾股定理可得，AB²=OA²+OB²，代入可求P，进而可求抛物线的方程．

解答 解：不妨设已知直角三角形为OAB，
直线OA的方程为y=2x，
∵∠AOB=90°即OA⊥OB，
∴k_OB=-$\frac{1}{{k}_{OA}}$=-$\frac{1}{2}$，
直线OB的方程为y=-$\frac{1}{2}$x，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$可得2x²-px=0，
∴x_A=$\frac{1}{2}$p，y_A=p，
同理可得x_B=8p，y_B=-4p，
∵斜边AB=5$\sqrt{13}$，
由勾股定理可得，AB²=OA²+OB²=325，
∴325=（$\frac{1}{2}$p）²+p²+64p²+16p²，
∵p＞0
∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的相交关系及两点的距离公式的应用，解题中的关键是由直线的垂直关系得到直线OB的斜率．