Question

13．若a，b，c三个正数成等差数列，公差d≠0，自然数n≥2，求证：aⁿ+cⁿ≥2bⁿ．

Answer 1

分析 用数学归纳法，即可证明命题成立．

解答 证明：用数学归纳法，
当n=2时，∵a+c=2b，
∴（a+c）²=4b²，
∴a²+c²+2ac=4b²，
即2（a²+c²）≥4b²，
∴a²+c²≥2b²； 
假设n=k时成立，即a^k+c^k≥2b^k； 
那么，当n=k+1时，且由2b=a+c，得 
a^k+1+c^k+1-2b^k+1=a^k+1+c^k+1-（a+c）•b^k； 
结合上边的假设a^k+c^k≥2b^k，得
a^k+1+c^k+1-（a+c）•b^k≥a^k+1+c^k+1-（a+c）•$\frac{{a}^{k}{+c}^{k}}{2}$=$\frac{（c-a）•{（c}^{k}{-a}^{k}）}{2}$≥0，
即a^k+1+c^k+1-2b^k+1≥0，
∴a^k+1+c^k+1≥2b^k+1；
所以n=k+1时也成立，
由以上归纳假设得到 
aⁿ+cⁿ≥2bⁿ （n≥2）．

点评 本题考查了用数学归纳法证明数学命题的应用问题，是综合性题目．