Question

4．如果命题“若x∈A，则y=log_a（x²+2x-3）为增函数”是真命题，试求出集合A．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，进而根据二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，复合函数单调性，可得答案．

解答 解：令t=x²+2x-3＞0，
则x∈（-∞，-3）∪（1，+∞），
当x∈（-∞，-3）时，t=x²+2x-3为减函数，当x∈（1，+∞）时，t=x²+2x-3为增函数，
若0＜a＜1，则y=log_at为减函数，
此时如果命题“若x∈A，则y=log_a（x²+2x-3）为增函数”是真命题，则A=（-∞，-3）；
若a＞1，则y=log_at为增函数，
此时如果命题“若x∈A，则y=log_a（x²+2x-3）为增函数”是真命题，则A=（1，+∞）．

点评 本题以命题的真假判断为载体考查了二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，复合函数单调性，难度中档．