Question

3．已知抛物线C的焦点F（0，-$\frac{p}{2}$）到准线的距离为$\frac{1}{2}$，直线1过定点M（3，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）在抛物线C上是否存在不同的两点关于直线1对称，若存在，求出1的斜率范围，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线C的焦点F（0，-$\frac{p}{2}$）到准线的距离为$\frac{1}{2}$，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）由题意，直线的斜率存在，设方程为y=k（x-3），求出AB的中点Q的坐标，利用点Q在抛物线的内部，即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线C的焦点F（0，-$\frac{p}{2}$）到准线的距离为$\frac{1}{2}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C的方程x²=-y；
（2）由题意，直线的斜率存在，设方程为y=k（x-3），点A（x₁，-x₁²），B（x₂，-x₂²），关于直线l对称，AB的中点为Q（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-（x₁+x₂）=-2x₀=-$\frac{1}{k}$，
∵Q（x₀，y₀）在直线l上，
∴y₀=k（x₀-3），∴y₀=$\frac{1}{2}$-3k．
∵点Q在抛物线的内部，∴（$\frac{1}{2k}$）²＜3k-$\frac{1}{2}$．
即（k-$\frac{1}{2}$）（6k²+2k+1）＞0．
∴k＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．