Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且sinAcosB=，sinBcosA=，△ABC的外接圆半径R=3．
（1）求角C．
（2）求的值．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，sinAcosB=，sinBcosA=，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
∵0＜C＜π，
∴C=30°或150°（6分）
（2）∵C=30°或150°，△ABC的外接圆半径R=3，
∴c=2RsinC=3 （8分）
∴c²=a²+b²-2abcosC
即 a²+b²-ab=9 或 a²+b²+ab=9（9分）
又由 sinAcosB=，
得 •=
∴a²-b²=3，（11分）
∴2a²±ab-4b²=0
解得=．（14分）
分析：（1）在△ABC中，由sinC=sin（A+B）可求得sinC=，从而可求得角C；
（2）由c=2RsinC可求得c，再利用余弦定理可得a²+b²-ab=9 或 a²+b²+ab=9，再由sinAcosB=得a²-b²=3，从而可得的值．
点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查综合运用余弦定理与正弦定理解决问题的能力，属于中档题．