Question

（2012•泉州模拟）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤0的解集D；
（Ⅱ）若存在实数x∈D使

3x

+

2-x

＞a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，分类讨论，化简函数，即可求解不等式；
（Ⅱ）利用柯西不等式，确定

3x

+

2-x

的最小值，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当x≤-1时，由f（x）=-x+2≤0，得x≥2，所以x∈∅；
当-1＜x≤

1

2

时，由f（x）=-3x≤0得x≥0，所以0≤x≤

1

2

；
当x＞

1

2

时，由f（x）=x-2≤0得x≤2，所以

1

2

＜x≤2．…（2分）
综上得：不等式f（x）≤0的解集D={x|0≤x≤2}．…（3分）
（Ⅱ）

3x

+

2-x

=

3

x

+

2-x

，…（4分）
由柯西不等式得(

3

x

+

2-x

)2≤（3+1）（x+（2-x））=8，
∴

3x

+

2-x

≤2

2

，…（5分）
当且仅当x=

3

2

时取“=”，
∴a的取值范围是(-∞，2

2

)．…（7分）

点评：本题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想．