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已知函数

(1)求曲线在点处的切线方程;

(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:

 

【答案】

(1)(2)设切线,方程有三个相异的实数根.函数与x轴有三个交点,

,满足极大值,极小值

【解析】

试题分析:(1)求函数的导数;.(1分) 曲线在点处的切线方程为:   ,    (2分)

即 .           (4分)

(2)如果有一条切线过点,则存在,使.    (5分)

于是,若过点可作曲线的三条切线,则方程  有三个相异的实数根.(6分)  记   ,则  .      ((7分)

变化时,变化情况如下表:

0

0

0

极大值

极小值

(表10分)(画草图11分)由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;

时,解方程,即方程只有两个相异的实数根;

时,解方程,即方程只有两个相异的实数根.

综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则 (13分)   即   .    (14分)

考点:函数导数的几何意义及导数求最值

点评:几何意义:函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率,第一问利用几何意义求得斜率;第二问有三条切线即有三个切点,转化为方程有三个不同的根,利用函数与方程的关系转化为函数图像与x轴有三个交点,即可通过极值判定,本题难度较大

 

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