Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ²-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）展开两角差的余弦，整理后代入ρcosθ=x，ρsinθ=y得圆的普通方程，化为标准方程后由三角函数的平方关系化参数方程；
（2）把x，y分别代入参数式，利用三角函数化积后借助于三角函数的有界性求最值．

解答：解：（1）由ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0，得
ρ2-4

2

ρ(cosθcos

π

4

+sinθsin

π

4

)+6=0，
即ρ2-4

2

ρ(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)+6=0，
ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，
即x²+y²-4x-4y+6=0为所求圆的普通方程，
整理为圆的标准方程（x-2）²+（y-2）²=2，
令x-2=

2

cosα，y-2=

2

sinα．
得圆的参数方程为

x=2+ 2 cosα y=2+ 2 sinα

 （α为参数）；
（2）由（1）得：
x+y=4+

2

(cosα+sinα)=4+2sin（α+

π

4

），
∴当sin（α+

π

4

）=1时，x+y的最大值为6，
当sin（α+

π

4

）=-1时，x+y的最小值为2．
故x+y的最大值和最小值分别是6和2．

点评：本题考查了点的极坐标和直角坐标的互化，考查了普通方程和参数方程的互化，训练了asinθ+bcosθ的化积公式，是中档题．