Question

已知函数f（x）=ln（1+x）+ax，（a∈R），（e=2.718281828…）
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）令g（x）=（1-a）x，当x∈[e-1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）令a_n=1+

n

2n

，记数列{a_n}的前n项积为T_n，求证：T_n＜e²．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，对函数求导，然后利用单调性和极值与导数的关系进行求解．
（2）将参数进行分类，将不等式恒成立转化为含有参数问题求最值恒成立问题，然后利用导数求构造函数的最值．
（3）根据数列的通项公式，构造对应的函数，然后利用函数的单调性去证明不等式．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1）∴f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

当x∈（-1，0）时f'（x）＞0；当x∈（0，+∞）时f'（x）＜0
∴当x=0时f_极大值（x）=f（0）=0，无极小值，
且函数f（x）的单调增区间为（-1，0），单调减区间为（0，+∞）；（4分）
（2）当x∈[e-1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立等价于ln（1+x）-（1-2a）x≥0
即：1-2a≤

ln(1+x)

x

恒成立．令φ(x)=

ln(1+x)

x

，x∈[e-1，2]，∴φ′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

当x∈[e-1，2]时，

x

1+x

＜1，ln(1+x)＞1则：φ′(x)＜0∴φmin(x)=φ(2)=

ln3

2

∴1-2a≤

ln3

2

∴a≥

2-ln3

4

则实数a的取值范围[

2-ln3

4

，+∞)（9分）
（3）由（1）得：当x＞0时，f（x）在区间（0，+∞）单调递减，则：ln（1+x）-x＜0，
即：ln（1+x）＜x，∴lnan=ln(1+

n

2n

)＜

n

2n

，
则：lna1+lna2+…+lnan＜

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

记：Mn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①∴

1

2

Mn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Mn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

∴

1

2

Mn=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴Mn=2-

n+2

2n+1

＜2（12分）∴lnT_n＜2则：Tn＜e2（14分）

点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性以及极值和最值问题，对于不等式恒成立问题往往是将不等式进行参数分类，转化为含参问题恒成立问题．