Question

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|
（1）若关于x的不等式f（x）≥k有解，求k的最大值；
（2）求不等式：f（x）≥x²-8x+15的解集．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据绝对值的意义求得-3≤f（x）≤3，可得f（x）≥k有解时，k的最大值．
（2）分类讨论，去掉绝对值，求得f（x）≥x²-8x+15的解集．

解答： 解：（1）函数f（x）=|x-2|-|x-5|表述数轴上的x对应点到2对应点的距离减去它到5对应点的距离，
故-3≤f（x）≤3．
再根据不等式f（x）≥k有解，∴k≤3，即k的最大值为3．
（2）由（1）可知，当x≤2时，f（x）≥x²-8x+15，即 x²-8x+18＜0，它的解集为空集；
当2＜x＜5时，时，f（x）≥x²-8x+15，即 x²-10x+22≤0，它的解集为{x|5-

3

＜x＜5}；
当x≥5时，f（x）≥x²-8x+15，即 x²-8x+12≤0，它的解集为{x|2≤x≤6}．
综上，不等式的解集为：{x|5-

3

＜x≤6}．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．