Question

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F和椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若定长为5的线段AB两个端点在抛物线C上移动，线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时M点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出圆的右焦点，即可求出抛物线C的方程；
（2）要求M点到y轴距离最小值，只要求出M点到抛物线准线的距离最小值即可．

解答 解：（1）∵椭圆的右焦点F（1，0），∴$\frac{p}{2}$=1，即p=2．
∴抛物线C的方程为y²=4x…（4分）
（2）要求M点到y轴距离最小值，只要求出M点到抛物线准线的距离最小值即可．过A，B，M作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，M′，设焦点为F．
∵|MM′|=$\frac{|AA′|+|BB′|}{2}$=$\frac{|AF|+|BF|}{2}$≥$\frac{|AB|}{2}$=$\frac{5}{2}$，当且仅当线段AB过焦点F时取等号．
∴M点到y轴的最短距离为|MM′|-$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$；…（8分）
设此时中点M的坐标为（x₀，y₀），则x₀=$\frac{3}{2}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
两式相减得：k_AB•2y₀=4，
∴$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-1}•2{y}_{0}=4$，∴y₀=±1，∴此时M点坐标为（$\frac{3}{2}$，±1）…（12分）

点评 本题考查椭圆的性质、抛物线的方程与性质，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．