Question

13．在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边BC上的一点，且$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$的值等于4．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$，可推得AD⊥CB，通过解直角三角形可得AD=2及∠BAD=60°，由数量积定义可求答案．

解答 解：由$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$，
得$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=0，
即$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∴$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{CB}$，即AD⊥CB，
又AB=4，∠ABC=30°，
∴AD=AB×sin30°=2，∠BAD=60°，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=AD×ABcos∠BAD=2×4×cos60°=4，
故答案为：4．

点评 本题考查平面向量数量积的运算及其定义，属基础题．熟练掌握数量积的运算性质是解决相关问题的关键．