Question

设椭圆方程为x2+

y2

4

=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程

 

．

Answer 1

分析：设出A，B两点的坐标，在设出AB中点的坐标，再设出直线l的方程，分别把A，B的坐标代入直线方程和椭圆的方程，利用点差法得到斜率和点的坐标的关系，把A，B的坐标用其中点P的坐标表示，整理后可得答案．

解答：解：设A，B点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），P的坐标为（x，y）．
则x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

．
设直线l的方程为y=kx+1，
把A，B坐标代入椭圆方程得x12+

y12

4

=1，x22+

y22

4

=1．
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0   ①．
将A，B坐标代入直线方程得，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
两式相减得y₁-y₂=k（x₁-x₂），代入①式得(x1-x2)[(x1+x2)+

k(y1+y2)

4

]=0．
∵M点在椭圆里面，又椭圆与y轴的交点为（0，-2）和（0，2），∴x₁-x₂≠0．
即由上式可得(x1+x2)+

k(y1+y2)

4

=0   ②．
另外将两式y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1相加得，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2，得k=

y1+y2-2

x1+x2

，代入②式并整理得，
(x1+x2)2+

(y1+y2)2

4

-

y1+y2

2

=0，即4x²+y²-y=0．
故答案为：4x²+y²-y=0．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了点差法，求解过程体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．