Question

已知x，y∈[-

π

4

，

π

4

]，a∈R，且有x³+sinx-2a=0，4y³+sinycosy+a=0，则sin（

x3

2

+4y³）=（　　）

• A、-1
• B、1
• C、

  1

  2

• D、0

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：根据两等式变形得到2a=x³+sinx=（-2y）³+sin（-2y），构造函数f（x）=x³+sinx，可得f（x）=f（-2y），利用函数的单调增减性得到x=-2y，代入原式计算即可得到结果．

解答： 解：∵x³+sinx-2a=0，4y³+sinycosy+a=0，
∴2a=x³+sinx=（-2y）³+sin（-2y），
构造函数f（x）=x³+sinx，
∴f（x）=f（-2y），
又∵x，y∈[-

π

4

，

π

4

]，f′（x）=3x²+cosx≥0，
∴f（x）是增函数，
∴x=-2y，
则sin（

x3

2

+4y³）=sin0=0．
故选：D．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的应用，弄清题意是解本题的关键．