Question

13．已知y=f（x），x∈R，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），又f（2）=$\sqrt{2}$，求f（2008）

Answer 1

分析 根据条件f（x+2）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，得到函数f（x）是周期为8的周期函数，进行转化求解即可．

解答 解：∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），
∴f（x+2）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
则f（x+4）=$\frac{1+f（x+2）}{1-f（x-2）}$=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=$-\frac{1}{f（x）}$，
即f（x+8）=-$\frac{1}{f（x+4）}$=f（x），
则函数f（x）是周期为8的周期函数，
则f（2008）=f（251×8）=f（0），
∵f（2）=$\frac{1+f（0）}{1-f（0）}=\sqrt{2}$，
即1+f（0）=$\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$f（0），
即（1+$\sqrt{2}$）f（0）=$\sqrt{2}-1$，
∴f（0）=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$=3-2$\sqrt{2}$，
即f（2008）=f（0）=3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．