Question

8．设集合A={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}，B={x|x²+4x=0}．
（1）若A∩B=A，求a的值；
（2）若A∪B=A，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由A∩B=A，A⊆B，对集合A进行分类讨论：①若A=∅，②若A为={0}，{-4}，③若A=B={-4，0}，由此求得a的值即可．
（2）先化简集合A，再由A∪B=A知B⊆A，由此求得a的值．

解答 解：B={x|x²+4x=0}={0，-4}．
（1）若A∩B=A，则A⊆B
①若A=∅，则△=4（a+1）²-4（a²-1）=8a+8＜0
则a＜-1；
②若A={0}或{-4}，则△=4（a+1）²-4（a²-1）=8a+8=0
解得：a=-1，将a=-1代入方程x²+2（a+1）x+a²-1=0得：x²=0得：x=0即A={0}符合要求；
③若A=B={-4，0}，则△=8a+8＞0，即a＞-1
即x²+2（a+1）x+a²-1=0的两根分别为-4、0，
则有a²-1=0且-2（a+1）=-4，
则a=1
综上所述，a≤-1或a=1．
（2）∵若A∪B=B，则B⊆A
∴B=A={0，-4}，
则△=8a+8＞0，即a＞-1
即0和-4是方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的两根
∴0-4=-2（a+1）=-4
0×（-4）=a²-1=0
解得：a=1或a=-1（舍去）
故答案为：a=1

点评 本题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．