Question

3．抛物线C：y²=2px（p＞0）横坐标为4的点到焦点距离为5．
（1）求C的方程；
（2）设直线y=kx+b与C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且|x₁-x₂|=$\frac{a}{k}$，（a＞0，a为常数），证明：a²k²=16（1-kb）

Answer 1

分析 （1）依题意得：4+$\frac{1}{2}$p=5，解方程求出p值，可得求抛物线C的方程；
（2）联立直线和抛物线的方程得：ky²-4y+4b=0，由韦达定理得：y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁•y₂=$\frac{4b}{k}$．由x₁-x₂|=$\frac{a}{k}$，得|y₁-y₂|=a，得（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=a²，整理得a²k²=16（1-kb）．

解答 （1）解：依题意得：4+$\frac{1}{2}$p=5，解得p=2．
所以抛物线方程为y²=4x．
（2）证明：直线y=kx+b与C联立，消去x得：ky²-4y+4b=0．
依题意可知：k≠0．
由韦达定理得：y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁•y₂=$\frac{4b}{k}$．
由|x₁-x₂|=$\frac{a}{k}$，得|y₁-y₂|=a，得（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=a²，
即$\frac{16}{{k}^{2}}-\frac{16b}{k}$=a²，整理得-16kb=a²k²，
所以a²k²=16（1-kb）．

点评 本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的标准方程，熟练掌握抛物线的基本性质，是解答的关键．