Question

14．若函数f（x）=log₄（x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）是奇函数，则a=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：∵f（x）=log₄（x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
即log₄（-x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）+log₄（x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）=log₄（-x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）（x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）=log₄（x²+2a²-x²）=log₄（2a²）=0
即2a²=1，a²=$\frac{1}{2}$，
解得a=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$±\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断和应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．