Question

19．设全集是实数集R，A={x|$\frac{1}{2}$≤x≤3}，B={x||x|+a＜0}．
（1）当a=-2时，求A∩B和A∪B；
（2）若（∁_RA）∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，求出集合B，即可求A∩B和A∪B；
（2）若（∁_RA）∩B=B，则B⊆∁_RA，根据集合关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-2时，B={x||x|-2＜0}={x|-2＜x＜2}．
则A∩B={x|$\frac{1}{2}$≤x＜2}，A∪B={x|-2＜x≤3}；
（2）若（∁_RA）∩B=B，
则B⊆∁_RA，
∵∁_RA={x|x＞3或x＜$\frac{1}{2}$}，
∵B={x||x|+a＜0}={x||x|＜-a}．
∴若B=∅，则-a≤0得a≥0时，满足条件．
若B≠∅即a＜0时，
则B={x||x|＜-a}={x|a＜x＜-a}．
则-a≤$\frac{1}{2}$，即-$\frac{1}{2}$≤a＜0}，
综上a≥-$\frac{1}{2}$，
即实数a的取值范围[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解是解决本题的关键．