Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若点P为△BCD的重心，则D₁P与平面ADD₁A₁所成角的大小为

arctan

10

5

．

Answer 1

分析：过P作PE⊥AD交AD于E点，则∠ED₁P为D₁P与平面ADD₁A₁所成角，设立方体棱长为3，则有ED=1，PE=2，从而可得D₁E=

10

，在△ED₁P中，利用正切函数，可求D₁P与平面ADD₁A₁所成角．

解答：解：过P作PE⊥AD交AD于E点，
因为平面ABCD⊥平面ADD₁A₁，所以直线PE⊥平面ADD₁A₁，所以∠ED₁P为D₁P与平面ADD₁A₁所成角；
因为P为三角形BCD的重心，则P分B到CD中点的连线为2：1
因为PE⊥AD，CD⊥AD，所以PE∥CD，所以E点分AD长度为2：1，即AE=2ED
延长EP交BC于F，记BD于PE的交点为G
因为EF∥CD，且BP为中线，所以有FP=PG=

1

3

CD．
设立方体棱长为3，则有ED=1，PE=2，∴D₁E=

10

在△ED₁P中，tan∠ED₁P=

PE

D1E

=

2

10

=

10

5

∴D₁P与平面ADD₁A₁所成角的大小为arctan

10

5

故答案为：arctan

10

5

点评：本题考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确作出线面角，属于中档题．