Question

【题目】已知椭圆C： 的离心率为 ，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在y轴上，是否存在定点E，使 恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，∴a2=2，b2=1，

∴椭圆C的标准方程：

（2）依题意过点D（0，2）且斜率为k的直线l的方程为：y=kx+2

由 得（1+2k2）x2+8kx+6=0

设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣ ，x1x2= ；

又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣ ．

y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4= ．

设存在点E（0，m），则 ．

所以 =

=

要使 =t（t为常数），

只要 =t，从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0

即2m2﹣2﹣2t=0且m2﹣4m+10﹣t=0由（1）得 t=m2﹣1，

代入（2）解得m= ，从而t= ，

故存在定点 E（0， ），使 恒为定值 ．

【解析】本题抓住1.“离心率为 2 2 ，左焦点为F（﹣1，0）”即可解出圆锥曲线的方程式；2.“过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点”把直接方程表示出来结合圆锥曲线的方程式联立解出，最后根据题目要求把 和的坐标表示出来。根据关系解出答案。