Question

15．多面体ABCDEF中，四边形ABCD、四边形BDEF均为正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD，点G，H分别为BF，AD的中点．
（Ⅰ）求证：GH∥平面AEF；
（Ⅱ）求直线EA与平面ACF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）设AE中点M，以D为原点建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{MF}$和$\overrightarrow{HG}$的坐标，得出$\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{MF}$，从而得出HG∥MF，故而HG∥平面AEF；
（II）求出$\overrightarrow{AE}$和平面ACF的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，设所求线面角为θ，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞|，利用同角三角函数的关系得出tanθ．

解答 证明：（I）以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设AB=2，AE的中点为M，则M（1，0，$\sqrt{2}$），H（1，0，0），F（2，2，2$\sqrt{2}$），G（2，2，$\sqrt{2}$）．
$\overrightarrow{HG}$=（1，2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{MF}$=（1，2，$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{MF}$，
∴HG∥MF，又HG?平面AEF，MF?平面AEF，
∴GH∥平面AEF．
（II）A（2，0，0），F（2，2，2$\sqrt{2}$），C（0，2，0），E（0，0，2$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AF}$=（0，2，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
设平面ACF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y+2\sqrt{2}z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}$=4$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{AE}$|=2$\sqrt{3}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．
设直线EA与平面ACF所成角为θ，则sinθ=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$，
即直线EA与平面ACF所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．