Question

4．设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，求$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$的最小值．

Answer 1

分析 由a₁，a₂，a₃均为正数，运用三元基本不等式，可得a₁a₂a₃≤$\frac{1}{27}$，再由$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$≥3$\root{3}{\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}}$，即可得到所求最小值．

解答 解：a₁，a₂，a₃均为正数，
由a₁+a₂+a₃≥3$\root{3}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$，
可得$\root{3}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$≤$\frac{1}{3}$，
即a₁a₂a₃≤$\frac{1}{27}$，
则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$≥3$\root{3}{\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}}$≥3$\root{3}{27}$=9．
当且仅当a₁=a₂=a₃=$\frac{1}{3}$时，取得最小值9．

点评 本题考查最值的求法，注意运用三元基本不等式，考查运算能力，属于基础题．