Question

12．已知椭圆D与y轴交于上A、下B两点，椭圆的两个焦点F₁（0，1）、F₂（0，-1），直线y=4是椭圆的一条准线．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设以原点为顶点，A为焦点的抛物线为C，若过点F₁的直线与C相交于不同M、N的两点，求线段MN的中点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的两个焦点，椭圆的一条准线方程．求出椭圆的几何量，然后求解椭圆的方程；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=8y\end{array}\right.$，化简，设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），推出x₁+x₂=8k，y₁+，y₂，得到中点坐标，设中点Q为（x，y），消去参数k，即可求轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）椭圆的两个焦点F₁（0，1）、F₂（0，-1），直线y=4是椭圆的一条准线．可得c=1，$\frac{{a}^{2}}{c}=4$，解得a=2，则b=$\sqrt{3}$，椭圆的焦点坐标在y轴上．
椭圆的方程$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=8y\end{array}\right.$得x²-8kx-8=0，（这里△≥0恒成立），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由韦达定理，得x₁+x₂=8k，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2=8{k^2}+2$，
所以中点坐标为（4k，4k²+1），
设中点Q为（x，y），令$\left\{\begin{array}{l}x=4k\\ y=4{k^2}+1\end{array}\right.$，消去参数k，
得到x²=4（y-1）为所求轨迹方程．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的标准方程的求法，考查转化思想以及计算能力．