Question

1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且$\overrightarrow m$=（cos（A-B），-sin（A-B）），$\overrightarrow n$=（cosB，sinB），若$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=-$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求sin A的值；
（Ⅱ）若a=4$\sqrt{2}$，b=5，求向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两角差的余弦公式求出cosB，从而求出sinB即可；（Ⅱ）先求出AB，cosB，从而求出向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m$=（cos（A-B），-sin（A-B）），$\overrightarrow n$=（cosB，sinB），若$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=-$\frac{3}{5}$．
∴cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=-$\frac{3}{5}$，
∴cosB=-$\frac{3}{5}$，
∴sinB=$\frac{4}{5}$；
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{{AB}^{2}{+AC}^{2}{-BC}^{2}}{2•AB•AC}$，
∴-$\frac{3}{5}$=$\frac{25{+AB}^{2}-32}{2×5}$，
解得：AB=1，
∴cosB=$\frac{{（4\sqrt{2}）}^{2}+1-25}{2×4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为：
|$\overrightarrow{AB}$|cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换问题，考查向量的运算性质，是一道中档题．