Question

11．已知函数y=f（x）=2x³-3x．
（1）求y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求y=f（x）在区间[-2，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），即切线的斜率，计算f（1），代入切线方程整理即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最大值即可．

解答 解：（1）由f（x）=2x³-3x得：
f′（x）=6x²-3，k=f′（1）=6-3=3，f（1）=-1，
所以求y=f（x）在x=1处的切线方程为：
y+1=3（x-1），即y=3x-4；
（2）令f'（x）=6x²-3=0，得$x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴f（x）在[-2，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）递增，在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）递减，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]递增，
而f（-2）=-10，$f（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\sqrt{2}$，$f（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=-\sqrt{2}$，f（1）=-1，
∴f（x）在区间[-2，1]上的最大值为$f（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\sqrt{2}$．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．