Question

（2005•武汉模拟）已知等轴双曲线C：x²-y²=a² （a＞0）上一定点P（x₀，y₀）及曲线C上两动点AB满足（

OA

-

OP

）•（

OB

-

OP

）=0，（其中O为原点）
（1）求证：（

OA

+

OP

）•（

OB

+

OP

）=0；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

分析：（1）用坐标表示向量，利用点满足双曲线方程，可证数量积为0；
（2）先由弦长公式得|PA|=

2(-km+n) 1+k2

k2-1

，|PB|=

2(m+kn) 1+k2

k2-1

，再利用勾股定理求|AB|的长，从而使问题得解．

解答：解：（1）因P（x₀，y₀）在双曲线C：x²-y²=a² 上，故x₀²-y₀²=a²．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁²-y₁²=a²，②x₂²-y₂²=a²    ③

PA

=（x₁-x₀，y₁-y₀），

PB

=（x₂-x₀，y₂-y₀），由于（

OA

-

OP

）•（

OB

-

OP

）=0，∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）=-（y₁-y₀）（y₂-y₀） ④
且点A，B分别在双曲线的两支．
②-①得（x₁-x₀）（x₁+x₀）=（y₁-y₀）（y₁+y₀）                ⑤
同理（x₂-x₀）（x₂+x₀）=（y₂-y₀）（y₂+y₀）                           ⑥
⑤×⑥÷④得（x₁+x₀）（x₂+x₀）=-（y₁+y₀）（y₂+y₀）．
∴（

OA

+

OP

）•（

OB

+

OP

）=

1

4

[（x₀+x₁）（x₀+x₂）+（y₀+y₁）（y₀+y₂）]=0．
（2）为简单起见，记x₀=m，y₀=n，不妨设PA的方程为x=m+k（y-n），其中kmn≥0，⑦
代入x²-y²=a²，化简得（k²-1）y²+（2km-2k²n）y-2kmn+（1+k²）n²=0，
解得y₁=n，y₂=

-2km+(1+k2)n

k2-1

⑧
由弦长公式得|PA|=

2(-km+n) 1+k2

k2-1

，|PB|=

2(m+kn) 1+k2

k2-1

，
设f（k）=|AB|²-4（m²+n²）=|PA|²+|PB|²-4（m²+n²）=

4[4k2(m2+n2)+4k(1+k2)mn]

(k2-1)2

≥0
当k→∞时，f（k）→0，∴|AB|的最小值是2

m2+n2

，即2|OP|=2

x 2 0 + y 2 0

点评：本题主要考查向量与解析几何的结合，考查设而不求法的运用，属于难题．