Question

2．已知函数f（x）=2x+a，g（x）=lnx-2x，如果对任意的${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（-∞，ln2-8]．

Answer 1

分析 求导函数，分别求出函数f（x）的最大值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．

解答 解：求导函数，可得g′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（2）=ln2-4，
∵f（x）=2x+a，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=4+a，
∵对任意的${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，
∴4+a≤ln2-4，
∴a≤ln2-8，
故答案为：（-∞，ln2-8]．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为f（x）_max≤g（x）_min．