Question

1．若二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-ax，求g（x）在[0，2]的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=3，设f（x）=ax²+bx+3，由f（x+1）-f（x）=2x+3，代入即可求得a和b的值，求得f（x）的解析式；
（2）由（1）可知，g（x）=f（x）-ax=（x-$\frac{a-2}{2}$）²+3-$\frac{（a-2）^{2}}{4}$，根据x∈[0，2]，有二次函数的性质，分类即可求得g（x）的最小值，求得g（a）的表达式．

解答 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=3，
∴c=3，
∴f（x）=ax²+bx+3，
又f（x+1）-f（x）=2x+3，
∴a（x+1）²+b（x+1）+3-[ax²+bx+3]=2x+3，
即2ax+a+b=2x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²+2x+3；
（2）g（x）=f（x）-ax=x²+（2-a）x+3=（x-$\frac{a-2}{2}$）²+3-$\frac{（a-2）^{2}}{4}$，
当$\frac{a-2}{2}$≤0时，即a≤2时，y_min=g（0）=3，
当0＜$\frac{a-2}{2}$＜2时，即2＜a＜4时，y_min=g（$\frac{a-2}{2}$）=3-$\frac{（a-2）^{2}}{4}$，
当$\frac{a-2}{2}$≥2时，即a≥4时，y_min=g（2）=11-2a，
综上g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3}&{a≤2}\\{3-\frac{（a-2）^{2}}{4}}&{2＜a＜4}\\{11-2a}&{a≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查利用待定系数法求二次函数的解析式和值域及最值，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．