Question

【题目】已知是自然数1，2，…，的一个排列，且满足：对任意，均有．

（1）若记为数在排列中所处位置的序号（如排列中，，，，）．求证：对每一个满足题意的排列，均有成立．

（2）试求满足题意的排列的个数．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）证法一：假设结论不成立，则必存在，，使．

不妨设，，．

首先证明：对任意整数，有．

若不然，设中有小于的，设为使的最小值，

则由的最小性知，．

故由．得．

∴．

又因，故．

∴．矛盾．

故对任意，．

∵是各不相同的自然数，

∴

∴

另一方面，，

∴．

于是，，即，

∴．

这与前面矛盾．故结论成立．

证法二：用数学归纳法证明更强的命题：

对任意，．

、2时，易知命题成立．

设时，命题也成立．

则时，考虑所有的排列，我们从两方面求和．

一方面，，

∴．

另一方面，，

∴．

故，且．

因而，，，…，，

即当时，，，．

而后个数的排列，为满足要求的连续个数的排列，

由归纳假设知，时，也有．

又易知．这样的排列仅有一个，即，同样也有．

故由数学归纳法知命题成立．

（2）显然，．假设，…，均已求出，我们来求．

考虑当时排列的个数．

由（1）证法二知，此时排列的前个数是惟一确定的，

而后个连续自然数的满足题意的排列方法数为．

又对后数的任一满足题意的排列，均有，

故．

又，故．

而，

∴．

故满足题意的排列个数．