【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，侧面
底面，
，
，
为线段
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）连接
，交
于点
，连接
，利用中位线的性质可得出
，然后利用线面平行的判定定理可证得
平面
；
（2）取
的中点
，连接
、
，证明出
底面
，然后以的中点为坐标原点，
、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
（1）连接，交于点，连接，
由于底面为菱形，
为的中点，
在
中，
为
的中点，
，
又因为
平面，
平面，
平面；
（2）取的中点，连接、，
由题意可得
，
，又侧面
底面，即底面.
以的中点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示
的坐标系，则有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量为
，得
，令
，则
，
，
则
是平面的一个法向量，
同理设平面的法向量为
，
，得
，令
，则
，
，
则
是平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为
，则
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】阶梯水价的原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变.为响应国家政策，制订合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，得到数据如下（单位：吨）.
郊区：19 25 28 32 34
城区：18 19 21 22 22 23 23 23 24 25 26 27 28 28 28 29 29 31 35 42
（1）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；
（2）设该城市郊区和城区的居民户数比为1：5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一阶梯的居民用户用水价格保持不变，试根据样本总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要周____周.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
是自然数1，2，…，
的一个排列，且满足：对任意
，均有
．
（1）若记
为数
在排列中所处位置的序号（如排列
中，
，
，
，
）．求证：对每一个满足题意的排列，均有
成立．
（2）试求满足题意的排列的个数
．
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【题目】曲线
的参数方程为
（
为参数），
是曲线上的动点，且是线段
的中点，
点的轨迹为曲线
，直线
的极坐标方程为
，直线与曲线交于
两点.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）写出过点
的直线的参数方程，并求
的值.
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【题目】如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A.240B.360C.420D.960
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【题目】设
是正整数，且
.(1）试求出最大的正整数
，使得存在各边长都是不大于的正整数，且任意两边之差(大减小）都不小于k的三角形；（2）试求出所有的正整数
，使得（1）中所述的对应于最大的正整数的三角形有且只有一个.
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【题目】已知函数
定义域为
，部分对应值如表，的导函数
的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（ ）
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A.函数的极大值点有
个
B.函数在上
是减函数
C.若
时，的最大值是，则
的最大值为4
D.当
时，函数
有
个零点
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【题目】已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，若椭圆经过点
，且
的面积为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率为
的直线
与以原点为圆心，半径为
的圆交于
，
两点，与椭圆交于，
两点，且
，当
取得最小值时，求直线的方程.
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