【题目】如图,在四棱锥中,底面
是菱形,侧面
底面
,
,
,
为线段
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接,交
于点
,连接
,利用中位线的性质可得出
,然后利用线面平行的判定定理可证得
平面
;
(2)取的中点
,连接
、
,证明出
底面
,然后以
的中点
为坐标原点,
、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
(1)连接,交
于点
,连接
,
由于底面为菱形,
为
的中点,
在中,
为
的中点,
,
又因为平面
,
平面
,
平面
;
(2)取的中点
,连接
、
,
由题意可得,
,又侧面
底面
,即
底面
.
以的中点
为坐标原点,
、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示
的坐标系,则有,
,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,得
,令
,则
,
,
则是平面
的一个法向量,
同理设平面的法向量为
,
,得
,令
,则
,
,
则是平面
的一个法向量,
设平面与平面
所成锐二面角为
,则
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】阶梯水价的原则是“保基本、建机制、促节约”,其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变.为响应国家政策,制订合理的阶梯用水价格,某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研,得到数据如下(单位:吨).
郊区:19 25 28 32 34
城区:18 19 21 22 22 23 23 23 24 25 26 27 28 28 28 29 29 31 35 42
(1)在郊区的这5户居民中随机抽取2户,求其年人均用水量都不超过30吨的概率;
(2)设该城市郊区和城区的居民户数比为1:5,现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户,并保证这一阶梯的居民用户用水价格保持不变,试根据样本总体的思想,分析此方案是否符合国家“保基本”政策.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至少需要周____周.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是自然数1,2,…,
的一个排列,且满足:对任意
,均有
.
(1)若记为数
在排列中所处位置的序号(如排列
中,
,
,
,
).求证:对每一个满足题意的排列
,均有
成立.
(2)试求满足题意的排列的个数.
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【题目】曲线的参数方程为
(
为参数),
是曲线
上的动点,且
是线段
的中点,
点的轨迹为曲线
,直线
的极坐标方程为
,直线
与曲线
交于
两点.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)写出过点的直线
的参数方程,并求
的值.
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【题目】如图所示,将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种色可供使用,则不同的染色方法种数为( )
A.240B.360C.420D.960
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【题目】设是正整数,且
.(1)试求出最大的正整数
,使得存在各边长都是不大于
的正整数,且任意两边之差(大减小)都不小于k的三角形;(2)试求出所有的正整数
,使得(1)中所述的对应于最大的正整数
的三角形有且只有一个.
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【题目】已知函数定义域为
,部分对应值如表,
的导函数
的图象如图所示. 下列关于函数
的结论正确的有( )
A.函数的极大值点有
个
B.函数在上
是减函数
C.若时,
的最大值是
,则
的最大值为4
D.当时,函数
有
个零点
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,若椭圆经过点
,且
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设斜率为的直线
与以原点为圆心,半径为
的圆交于
,
两点,与椭圆
交于
,
两点,且
,当
取得最小值时,求直线
的方程.
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