Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD
（Ⅰ）证明：BD⊥PC
（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥BD，AC⊥BD，PA，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥PC．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，则∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而∠DPO=30°，推导出BD⊥PO，AC⊥BD，求出梯形ABCD的高，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴BD⊥PC．…（5分）
解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，
由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，
∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，
由BD⊥平面PAC，PO?平面PAC，知BD⊥PO．
在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，
∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD的高为$\frac{1}{2}$AD+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×（6+2）=4，
于是S_ABCD=$\frac{1}{2}$×（6+2）×4=16．
在等腰三角形AOD中，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=3$\sqrt{2}$，
∴PD=2OD=6$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{P{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{72-36}$=6，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_ABCD×PA=$\frac{1}{3}$×16×6=32．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．