Question

3．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=1，AD=2．
（I）若BD=$\sqrt{7}$，求角C；
（II）若BC=3，CD=4，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （I）在△ABD中，由余弦定理可求cosA=-$\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，可求A，由四边形ABCD是圆的内接四边形，即可求C的值．
（II）利用余弦定理可求BD²=5-4cosA=25+24cosA，解得cosA=-$\frac{5}{7}$，结合范围0＜A＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）在△ABD中，由余弦定理得，cosA=$\frac{A{D}^{2}+A{B}^{2}-B{D}^{2}}{2AD•AB}$=-$\frac{1}{2}$．
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$．
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴C=π-A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（II）因为BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA=5-4cosA，
且BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cos（π-A）=25+24cosA，
∴cosA=-$\frac{5}{7}$．…（9分）
又0＜A＜π，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
∴S_△BCD=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}AB•AD•sinA$+$\frac{1}{2}CB•CD•sin（π-A）$=2$\sqrt{6}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．