Question

7．已知P为等边三角形ABC内一点，且满足$\overrightarrow{PA}$+λ$\overrightarrow{PB}$+（1+λ）$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，若三角形PAC与三角形PAB的面积之比为$\frac{1}{3}$，则实数λ的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据条件可得出$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=-λ（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$，不妨设AC中点为D，BC中点为E，从而得出$\overrightarrow{PD}=-λ\overrightarrow{PE}$，从而得到D，P，E三点共线，进而得出，$\frac{|\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{λ}{2（λ+1）}$，$\frac{|\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{2（λ+1）}$．从而得出${S}_{△PAC}=\frac{λ}{2（λ+1）}{S}_{△ABC}$，${S}_{△PBC}=\frac{1}{2（λ+1）}{S}_{△ABC}$，这样便可根据三角形PAC与三角形PAB的面积之比$\frac{1}{3}$建立关于λ的方程，解出λ即可．

解答 解：$\overrightarrow{PA}+λ\overrightarrow{PB}+（1+λ）\overrightarrow{PC}$=$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}）+λ（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=-λ（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$；
如图，设AC中点为D，BC中点为E，则$2\overrightarrow{PD}=-λ•2\overrightarrow{PE}$，即$\overrightarrow{PD}=-λ\overrightarrow{PE}$；

∴P，D，E三点共线，且DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}AB$；
据题意，-λ＜0，∴λ＞0；
∴$\frac{|\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{PE}|}=λ$，$\frac{|\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{PD}|}=\frac{1}{λ}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{DE}|}=\frac{λ}{λ+1}$，$\frac{|\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{DE}|}=\frac{1}{λ+1}$，$\frac{|\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{λ}{2（λ+1）}$，$\frac{|\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{2（λ+1）}$；
∴${S}_{△PAC}=\frac{λ}{2（λ+1）}{S}_{△ABC}$，${S}_{△PBC}=\frac{1}{2（λ+1）}{S}_{△ABC}$；
∴${S}_{△PAB}=\frac{λ+1}{2（λ+1）}{S}_{△ABC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴$\frac{{S}_{△PAC}}{{S}_{△PAB}}=\frac{\frac{λ}{2（λ+1）}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$；
解得$λ=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 考查的数乘运算，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，三角形中位线的性质，向量数乘的几何意义，以及三角形的面积公式．