Question

17．已知x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，若2x+y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1-$\sqrt{10}$）
• B． $（-1-\sqrt{10}，-1+\sqrt{10}）$
• C． $[{-1+\sqrt{10}，+∞}）$
• D． $[{-1-\sqrt{10}，-1+\sqrt{10}}]$

Answer 1

分析 先把2x+y转化为2x+y=（2x+y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x+y＞m²+2m恒成立求得m²+2m＜9，进而求得m的范围．

解答 解：∵x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，
∴2x+y=（2x+y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=4+1+$\frac{2y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{2x}{y}}$=9，
当且仅当x=y=3时取等号，
∵2x+y＞m²+2m恒成立，
∴m²+2m＜9，
解得-1-$\sqrt{10}$＜x＜-1+$\sqrt{10}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．