Question

12．过点A（4，1）的圆C与直线x-y-1=0相切于点B（2，1），求圆C的方程，并确定圆心坐标和半径．

Answer 1

分析 求出直线x-y-1=0的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程，根据直线方程设出圆心C坐标，根据|AC|=|BC|，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出C坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可．

解答 解：∵直线x-y-1=0的斜率为1，
∴过点B直径所在直线方程斜率为-1，
∵B（2，1），
∴此直线方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0，
设圆心C坐标为（a，3-a），
∵|AC|=|BC|，即$\sqrt{（a-4）^{2}+（3-a-1）^{2}}$=$\sqrt{（a-2）^{2}+（2-a）^{2}}$，
解得：a=3，
∴圆心C坐标为（3，0），半径为$\sqrt{2}$，
则圆C方程为（x-3）²+y²=2．

点评 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．