Question

7．在直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上．
（1）当角α的终边为射线l：y=2$\sqrt{2}$x （x≥0）时，求cos（α+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）已知$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{3π}{4}$，试求$\frac{3}{2}$sin2α+$\sqrt{3}$cos²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函数的定义求得sinα 和cosα 的值，再利用两角和差的三角公式求得 cos（α+$\frac{π}{6}$）的值．
（2）利用三角恒等变换化简要求式子的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的值域．

解答 解：（1）当角α的终边为射线l：y=2$\sqrt{2}$x （x≥0）时，
在射线l上取点A（1，2$\sqrt{2}$），则OA=3，
由三角函数的定义可得sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosα=$\frac{1}{3}$，
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=cosαcos$\frac{π}{6}$-sinαsin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}$$•\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$．
（2）∵已知$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{3π}{4}$，∴2α+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{3}$]，
$\frac{3}{2}$sin2α+$\sqrt{3}$cos²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}sin2α$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2α=$\sqrt{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$），
∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，∴$\sqrt{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
即要求的$\frac{3}{2}$sin2α+$\sqrt{3}$cos²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的取值范围为[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．