Question

19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，∠B=45°，$b=\sqrt{10}，sinC=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求边长a；  
（2）设AB中点为D，求中线CD的长．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可计算求值sinA，进而利用正弦定理可求a的值．
（2）由余弦定理得AB，利用已知可求BD=1，在△BCD中由余弦定理得CD的值．

解答 解：（1）因为$sinC=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则$cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\sqrt{1-{{（{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，…（1分）
所以：sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinB
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，…（3分）
由正弦定理可得：$a=\frac{bsinA}{sinB}=\frac{{\sqrt{10}•\frac{{3\sqrt{10}}}{10}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=3\sqrt{2}$…（6分）
（2）由余弦定理得${c^2}={（{3\sqrt{2}}）^2}+{（{\sqrt{10}}）^2}-2×（{3\sqrt{2}}）（{\sqrt{10}}）•\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=4$，…（8分）
所以BD=1，
在△BCD中由余弦定理得CD²=BD²+BC²-2BD•BCcosB…（10分）
=$1+{（{3\sqrt{2}}）^2}-2×1×3\sqrt{2}\frac{{\sqrt{2}}}{2}=13$，
所以：$CD=\sqrt{13}$…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．