Question

11．已知函数g（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-（a+1）x+lnx（a∈R，a≠0）．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时恒有g（x）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数g（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时恒有g（x）＜0，g（x）_max＜0，结合（1），求实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．
${g^'}（x）=ax-（a+1）+\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-（a+1）x+1}}{x}=\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$（1分）
①当0＜a＜1时，$\frac{1}{a}＞1＞0$．当x∈（0，1）时g′（x）＞0，
当$x∈（1，\frac{1}{a}）$时g′（x）＜0；
当$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$时，g′（x）＞0，
所以，g（x）的单增区间为（0，1），$（\frac{1}{a}，+∞）$，单减区间为$（1，\frac{1}{a}）$．（2分）
②当a=1时，恒有g，（x）≥0，所以g（x）的单增区间为（0，+∞）-（3分）
③当a＞1时，$0＜\frac{1}{a}＜1$当$x∈（0，\frac{1}{a}）$时，g′（x）＞0；
当$x∈（\frac{1}{a}，1）$时g′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
所以，g（x）的单增区间为$（0，\frac{1}{a}）$，（1，+∞），单减区间为$（\frac{1}{a}，1）$．-（4分）
④当a＜0时，$\frac{1}{a}＜0＜1$当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0
所以，g（x）的单增区间为（0，1），单减区间为．（1，+∞）-（6分）
（2）当x∈[1，+∞）时恒有g（x）＜0，即g（x）_max＜0，
由（1）知：当a＜0时，g（x）在[1，+∞）单调递减，则$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{a}{2}-1＜0$，得-2＜a＜0；
当0＜a＜1时，g（x）在$（1，\frac{1}{a}）$上单调递减，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上单调递增，此时g（x）∈[g（1），+∞），故不可能g（x）_max＜0，不合题意；
当a≥1时，g（x）在[1，+∞）单调递增，g（x）∈[g（1），+∞），故不可能g（x）_max＜0，不合题意．
综上：a的取值范围-2＜a＜0．（10分）

点评 本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．