Question

20．如图，椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂与抛物线y²=4x的焦点重合，过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且$\frac{|CD|}{|ST|}=2\sqrt{2}$
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点），当|AB|＜$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$时，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线方程y²=4x得焦点F₂（1，0），设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，求出C（1，2），D（1，-2），由抛物线、椭圆都关于x轴对称，能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设AB：y=k（x-2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识、椭圆性质，结合已知条件能求出实数t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂与抛物线y²=4x的焦点重合，
∴由抛物线方程y²=4x得焦点F₂（1，0），
∴设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=1}\end{array}\right.$，得C（1，2），D（1，-2），
∵抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴$\frac{|{F}_{2}C|}{|{F}_{2}S|}$=$\frac{|CD|}{|ST|}$=2$\sqrt{2}$，|F₂S|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴S（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{1}{{b}^{2}+1}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，解得b²=1，
∴a²=1+1=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，
设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，解得k²＜$\frac{1}{2}$，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵|AB|＜$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴（1+k²）[$\frac{64{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-4•\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$]＜$\frac{20}{9}$，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，∴k²＞$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}＜{k}^{2}＜\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}$，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴$x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}$，y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{t}=\frac{1}{t}$[k（x₁+x₂）-4k]=$\frac{-4k}{t（1+2{k}^{2}）}$，
∵点P在椭圆上，∴$\frac{（8{k}^{2}）^{2}}{{t}^{2}（1+2{k}^{2}）^{2}}$+2$•\frac{（-4k）^{2}}{{t}^{2}（1+2{k}^{2}）^{2}}$=2，
∴16k²=t²（1+2k²），∴t²=$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=8-$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\frac{8}{3}＜{t}^{2}＜4$，
∴-2＜t＜-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或$\frac{2\sqrt{6}}{3}＜t＜2$，
∴实数t的取值范围为（-2，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）∪（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，2）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量知识、椭圆性质的合理运用．