Question

8．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，表示的区域为M，若直线l：y=k（x+2）上存在区域M内的点，则k的取值范围是$[\frac{2}{7}，\frac{22}{15}]$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据直线和区域的关系即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
直线y=k（x+2）过定点（-2，0），
由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，当经过点B时，直线斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x+5y=25}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{22}{5}}\end{array}\right.$，即A（1，$\frac{22}{5}$），此时k=$\frac{\frac{22}{5}-0}{1-（-2）}$=$\frac{22}{15}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y=-3}\\{3x+5y=25}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（5，2），此时k=$\frac{2-0}{5-（-2）}$=$\frac{2}{7}$，
故k的取值范围是$[\frac{2}{7}，\frac{22}{15}]$，
故答案为：$[\frac{2}{7}，\frac{22}{15}]$

点评 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的公式的计算，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．