Question

17．已知椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为$\frac{π}{6}$，直线l过点E（-1，0）且与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）△AOB的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为$\frac{π}{6}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线l的方程为x=my-1或y=0（舍），联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x=my-1}\end{array}\right.$，得（m²+4）y²-2my-3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、换元法、函数性质，结合已知条件能求出△AOB的面积的最大值．

解答 解：（1）∵椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为$\frac{π}{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，再由a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）∵直线l过点E（-1，0），∴设直线l的方程为x=my-1或y=0（舍），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x=my-1}\end{array}\right.$，得（m²+4）y²-2my-3=0，
△=4m²+12（m²+4）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中y₁＞y₂，
解得${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，
∴|y₂-y₁|=$\sqrt{（1+\frac{1}{{m}^{2}}）[（\frac{2m}{{m}^{2}+4}）^{2}+4×\frac{3}{{m}^{2}+4}]}$=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$，
则S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OE|•|y₂-y₁|=$\frac{2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+3}}}$，
设t=$\sqrt{{m}^{2}+3}$，则g（t）=t+$\frac{1}{t}$，t$≥\sqrt{3}$，
则g（t）在区间[$\sqrt{3}$，+∞）上是增函数，∴g（t）≥g（$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴S_△AOB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
当且仅当m=0时，取等号，即（S_△AOB）_max=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴△AOB的面积有最大值，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积是否有最大值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、换元法、函数性质的合理运用．