Question

15．已知三点A（0，2），B（-3，0），C（4，0），矩形EFGH的顶点E、H分别在△ABC的边AB、AC上，F、G都在边BC上，不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，那么直线l的方程是2x+y-1=0．

Answer 1

分析 因为不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，故取两种特殊情况分别求出相应的P点坐标即可求出直线l的方程，方法是：E和H分别为|AB|和|AC|的中点或三等份点，分别求出E、F、G、H四点的坐标，然后利用相似得到相应的P点、P′点坐标，根据P和P′的坐标写出直线方程即为定直线l的方程．

解答 解：①∵三点A（0，2），B（-3，0），C（4，0），
当E、H分别为|AB|和|AC|的中点时，
∴E（-$\frac{3}{2}$，1 ），F（-$\frac{3}{2}$，0），H（2，-$\frac{3}{2}$ ），
G（ 2，0）
则|PQ|=$\frac{1}{2}$，|FQ|=|EH|=|BC|=7，|FO|=1，
∴|OQ|=|FQ|-|OF|=$\frac{1}{4}$×7-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{4}$，∴P（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
②当E、H分别为|AB|和|AC|的三等分点时，
E（-1，$\frac{4}{3}$），F（-1，0），H（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），G（$\frac{4}{3}$，0），
则|PQ|=$\frac{2}{3}$，|FQ|=$\frac{1}{2}$|EH|=$\frac{1}{6}$|BC|=$\frac{7}{6}$，|FO|=1，
∴|OQ|=|FQ|-|OF|=$\frac{1}{6}$×7+（-1）=$\frac{1}{6}$，∴P′（ $\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$），
∴直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{6}-\frac{1}{4}}$（x-$\frac{1}{4}$），
化简，得2x+y-1=0．
故答案为：2x+y-1=0．

点评 此题考查学生灵活运用三角形相似得比例解决数学问题，会根据两点坐标写出直线的一般式方程，是一道中档题．