Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，长轴长为4，P是椭圆C上任意一点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的取值范围；
（Ⅲ）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，直线PA交直线l：x=4于点M，连接MB，直线MB与椭圆C的另一个交点为Q．试判断直线PQ是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的两个焦点分分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，长轴长为4，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}-{x}_{0}$，0-y₀）•（$\sqrt{3}-{x}_{0}，0-{y}_{0}$）=$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{4}-2$，由此能求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的取值范围．
（Ⅲ）由M在直线l：x=4上，则点M（4，t），由A（-2，0），B（2，0），得AP：y=$\frac{t}{6}（x+2）$，BP：y=$\frac{t}{6}（x-2）$，从而求出P、Q的坐标，由此能求出直线PQ过定点（1，0）．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，长轴长为4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2\sqrt{3}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），
∵P是椭圆C上任意一点，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}$=1，
∵|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，∴F${\;}_{1}（-\sqrt{3}，0）$，F₂（$\sqrt{3}，0$），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}-{x}_{0}$，0-y₀）•（$\sqrt{3}-{x}_{0}，0-{y}_{0}$）
=${{x}_{0}}^{2}-3+{{y}_{0}}^{2}$=${{x}_{0}}^{2}-3+1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{4}-2$，
∵$0≤{{x}_{0}}^{2}≤4$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的取值范围是[-2，1]．
（Ⅲ）∵M在直线l：x=4上，则点M（4，t），
∵A（-2，0），B（2，0），∴AP：y=$\frac{t}{6}（x+2）$，BP：y=$\frac{t}{6}（x-2）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{t}{6}（x+2）}\end{array}\right.$，得P（$\frac{18-2{t}^{2}}{{t}^{2}+9}$，$\frac{6t}{{t}^{2}+9}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{t}{6}（x-2）}\end{array}\right.$，得Q（$\frac{2{t}^{2}-2}{{t}^{2}+1}$，-$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$），
∴${k}_{PQ}=\frac{2t}{3-{t}^{2}}$，
∴PQ：y+$\frac{2t}{{t}^{2}+1}=\frac{2t}{3-{t}^{2}}（x-\frac{2{t}^{2}-2}{{t}^{2}+1}）$，
y=$\frac{2t}{3-{t}^{2}}x-\frac{2t}{3-{t}^{2}}•\frac{2{t}^{2}-2}{{t}^{2}+1}-\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，
y=$\frac{2t}{3-{t}^{2}}x-\frac{（2{t}^{2}-2）2t+2t（3-{t}^{2}）}{（{t}^{2}+1）（3-{t}^{2}）}$，
y=$\frac{2t}{3-{t}^{2}}x-\frac{2t}{3-{t}^{2}}$，
∴PQ：y=$\frac{2t}{3-{t}^{2}}（x-1）$，
∴直线PQ过定点（1，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，考查直线能否过定点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．