Question

9．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，给出下列结论：
（1）AC⊥BE；
（2）EF∥平面ABCD；
（3）三棱锥A-BEF的体积为定值；
（4）异面直线AE，BF所成的角为定值．
其中错误的结论有（　　）

• A． 0个
• B． 1 个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 连结BD，则AC⊥平面BB₁D₁D，BD∥B₁D₁，由此能求出结果．找出两个特殊位置，即可判断（4）是不正确的；综合可得答案．

解答 解：连结BD，则AC⊥平面BB₁D₁D，BD∥B₁D₁，
∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A-BEF的体积为定值，
从而（1）（2）（3）正确．
当点E在D₁处，F为D₁B₁的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC₁，
当E在上底面的中心时，F在C₁的位置，
异面直线AE，BF所成的角是∠EAA₁
显然两个角不相等，（4）不正确．
故选：B．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．