Question

4．国防专业越来越受年轻学子的青睐，为了解某市高三报考国防专业学生的身高（单位：cm）情况，现将该市某学校报考国防专业的学生的身高作为样本，获得的数据整理后得到如图所示的频率分布直方图，其中样本数据的分组区间为[165，170），[170，175），[175，180），[180，185），[185，190）．已知图中从左至右第一、三、五小组的频率之比为1：3：2，其中第三小组的频数为15．
（1）求该校报考国防专业学生的总人数n；
（2）若用这所学校报考国防专业的学生的身高的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考国防专业的学生中任选4人，设ξ表示身高不低于175cm的学生人数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设从左至右第一、三、五小组的频率分别为p₁，p₂，p₃，根据前3个小组的频率之比为1：3：2和所求频率和为1建立方程组，解之即可求出第二组频率，然后根求该校报考国防专业学生的总人数n即可；
（2）由1）可得，报考国防专业的学生的身高不低于175cm的概率p=p₂+p₃+0.05）×5=$\frac{3}{4}$，所以ξ服从二项分布B（4，$\frac{3}{4}$），从而求出ξ的分布列，最后利用数学期望公式进行求解．

解答 解：（1）设从左至右第一、三、五小组的频率分别为p₁，p₂，p₃．
则由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{2}=3{p}_{1}}\\{{p}_{3}=2{p}_{1}}\\{{p}_{1}+{p}_{2}+{p}_{3}+（0.03+0.05）×5=1}\end{array}\right.$．
解得p₁=0.1，p₂=0.3，p₃=0.2．
因此该校报考国防专业的总人数n=$\frac{15}{0.3}$=50．
（2）由（1）可知，报考国防专业的学生的身高不低于175cm的概率p=p₂+p₃+0.05）×5=$\frac{3}{4}$．
所以ξ服从二项分布B（4，$\frac{3}{4}$），P（ξ=k）=${C}_{4}^{k}$（ $\frac{3}{4}$）^k•（1-$\frac{3}{4}$）^4-k，k=0，1，2，3，4．
随机变量ξ的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{81}{256}$

∵ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），∴Eξ=4×$\frac{3}{4}$=3．

点评 本题主要考查了频率分布直方图，以及离散型随机变量的概率分布和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．