Question

9．已知函数f（x）=ax³-x²+x-6在（-∞，+∞）上既有极大值又有极小值，则a的取值范围为$a＜\frac{1}{3}$且a≠0．

Answer 1

分析 求出导函数，根据函数在区间（-∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，导函数为0的方程有不等的实数根，可求实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=ax³-x²+x-6，
则导函数：f′（x）=3ax²-2x+1，
∵函数f（x）=ax³-x²+x-6既有极大值又有极小值，
∴a≠0，且△=4-12a＞0，∴$a＜\frac{1}{3}$且a≠0．
故答案为：$a＜\frac{1}{3}$且a≠0．

点评 本题的考点是函数在某点取得极值的条件，主要考查学生利用导数研究函数极值的能力，关键是将问题转化为导函数为0的方程有不等的实数根．