【题目】设三棱锥的每个顶点都在球的球面上,是面积为的等边三角形,,,且平面平面.
(1)求球的表面积;
(2)证明:平面平面,且平面平面.
(3)与侧面平行的平面与棱,,分别交于,,,求四面体的体积的最大值.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】
(1)先取的中点,连接.根据,得出的外心为.再因为,则.平面平面,平面平面,所以平面,球心在上.得出是线段上靠近点的一个三等分点.然后求出球的半径,则得出球的表面积为.
(2)根据在上,则平面,又平面,则有平面平面.再证平面平面,所以有平面,又平面,即可证得平面平面.
(3)先求到平面的距离.设,到平面的距离为.由平面平面,得到三角形相似,则可得的面积,求出,得到到平面的距离为,则四面体的体积.转化为函数,利用导函数求得最大值.
(1)解:取的中点,连接.
因为,所以的外心为.
因为,所以.
又平面平面,平面平面,所以平面,
所以在上.
因为是等边三角形,所以是线段上靠近点的一个三等分点.
由题意得,解得,
所以球的半径,球的表面积为.
(2)证明:因为在上,所以平面,
又平面,所以平面平面.
连接,则,又平面平面,所以平面,
又平面,所以平面平面.
(3)解:因为,所以到平面的距离.
设,到平面的距离为.
因为平面平面,所以,则的面积为.
又,所以到平面的距离为,
所以四面体的体积.
设,,
当时,;当时,.
所以,
即四面体的体积的最大值为.
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【题目】在平面直角坐标系中,将曲线(为参数)上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形.以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)点P为曲线上的任意一点,求点P到直线的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标.
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【题目】已知直线l的参数方程为:,(t为参数).在以坐标原点0为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求的值.
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【题目】已知椭圆 (a>b>0)长轴的两顶点为A、B,左右焦点分别为F1、F2,焦距为2c且a=2c,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在双曲线 上取点Q(异于顶点),直线OQ与椭圆C交于点P,若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4,试证明:k1+k2+k3+k4为定值;
(3)在椭圆C外的抛物线K:y2=4x上取一点E,若EF1、EF2的斜率分别为,求的取值范围.
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【题目】某公司进行共享单车的投放与损耗统计,到去年年底单车的市场保有量(已投入市场且能正常使用的单车数量)为辆,预计今后每年新增单车1000辆,随着单车的频繁使用,估计每年将有200辆车的损耗,并且今后若干年内,年平均损耗在上一年损耗基础上增加%.
(1)预计年底单车的市场保有量是多少?
(2)到哪一年底,市场的单车保有量达到最多?该年的单车保有量是多少辆(最后结果精确到整数)?
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【题目】已知函数,若在定义域内存在,使得成立,则称为函数的局部对称点.
(1)若、且,证明:函数必有局部对称点;
(2)若函数在区间内有局部对称点,求实数的取值范围;
(3)若函数在上有局部对称点,求实数的取值范围.
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【题目】已知首项大于0的等差数列的公差,且;
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:,,,其中;
①求数列的通项;
②是否存在实数,使得数列为等比数列?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
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