Question

已知函数f（x）=

2x2+bx+c

x2+1

（b＜0）的值域是[1，3]，
（1）求b、c的值；
（2）判断函数F（x）=lgf（x），当x∈[-1，1]时的单调性，并证明你的结论；
（3）若t∈R，求证：lg

7

5

≤F（|t-

1

6

|-|t+

1

6

|）≤lg

13

5

．

Answer 1

解；（1）设y=

2x2+bx+c

x2+1

，则（y-2）x²-bx+y-c=0．  ①
∵x∈R，∴①的判别式△≥0，即 b²-4（y-2）（y-c）≥0，即4y²-4（2+c）y+8c-b²≤0．  ②
由条件知，不等式②的解集是[1，3]，
∴1，3是方程4y²-4（2+c）y+8c+b²=0的两根，故有

1+3=2+c 1×3= 8c+b2 4

，
∴c=2，b=-2，或b=2（舍），即f（x）=

2x2-2x+2

x2+1

=2-

2x

x2+1

．
（2）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₂＞x₁，则有 x₂-x₁＞0，且（x₂-x₁）（1-x₁x₂）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=-

2x2

1+x22

-(-

2x1

1+x12

)=

2(x2-x1)(x1x2 -1)

(1+x12)(1+x22)

＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），lgf（x₂）＜lgf（x₁），即F（x₂）＜F（x₁），∴F（x）为减函数．
（3）记 u=|t-

1

6

| - |t+

1

6

|，则可得 |u| ≤ |(t-

1

6

)-(t+

1

6

)| =

1

3

，即-

1

3

≤u≤

1

3

，
根据F（x）的单调性知，F（

1

3

）≤F（u）≤F（-

1

3

）恒成立．
又f（

1

3

）=2-

2• 1 3

( 1 3 )2+1

=

7

5

，f（-

1

3

）=2-

2•(- 1 3 )

(- 1 3 )2+1

=

13

5

，
∴lg

7

5

≤F（|t-

1

6

|-|t+

1

6

|）≤lg

13

5

对任意实数t 成立．