Question

已知二阶矩阵A=

a 3 c 1

，矩阵A属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为α₁=

.

1 -1

.

．
（1）求矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量；
（2）若向量m=

.

-1 4

.

，求A⁴m．

Answer 1

分析：（1）由题意知：A

α

₁=λ

α

₁（

α

₁为特征向量，λ为特征值），利用矩阵的乘法法则化简求出a与c的值，代入矩阵A即可得A，再根据矩阵A的特征多项式解出矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量；
（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值，然后根据特征向量线性表示出向量

m

，利用矩阵的乘法法则求出

m

=-10α₁+3α₂②，代入A⁴

m

中求出值即可．

解答：解：（1）由题知：

a 3 c 1

1′ -1′

=-

1′ -1′

，即a-3=-1，c-1=1，解得a=2，b=2，
所以A=

2 3 2 1

；
矩阵A的特征多项式为f（λ）=

.

λ-2 3 2 λ-1

.

=λ²-3λ-4=0，
得λ₁=-1，λ₂=4，
当λ₁=-1时，α₁=

1′ -1′

，
当λ₂=4时，将λ₂=4代入特征方程组，得

2x+3y=0 2x+3y=0

⇒2x+3y=0．
可取α₂=

3′ -2′

为属于特征值λ₂=4的一个特征向量．（8分）
（2）由

m

=pα₁+qα₂=p

1′ -1′

+q

3′ -2′

=

-1′ 4′

，
得：

p+3q=-1 -p-2q=4

解得

p=-10 q=3

，则

m

=-10α₁+3α₂
∴A⁴

m

=A⁴（-10α₁+3α₂）=-10（A⁴α₁）+3A⁴α₂
=-10（ λ14α₁）+3

λ

4 2

α₂=-10×1×

1′ -1′

+3×256×

3′ -2′

=

2294′ -1526′

．

点评：本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键．